Двоичное дерево поиска
Двоичное дерево поиска — это структура данных двоичное дерево, в которой данные, привязанные к каждому узлу, представляют собой пару (key, value)
(ключ и значение), причём на ключах определена операция сравнения
"меньше", и для всех узлов дерева выполнено свойство, называемое
свойством дерева поиска:
- у всех узлов левого поддерева произвольного узла n значение ключей меньше, нежели значения ключа узла n,
- у всех узлов правого поддерева произвольного узла n значение ключей не меньше, нежели значения ключа узла n.
Основные операции в двоичном дереве поиска
Базовый интерфейс двоичного дерева поиска состоит из трех операций:
- FIND(K) — поиск узла, в котором хранится пара (key, value) с key = K.
- ADD(K,V) — добавление в дерево пары (key, value) = (K, V).
- DEL(K) — удаление узла, в котором хранится пара (key, value) с key = K.
Этот абстрактный интерфейс является общим случаем, например, таких интерфейсов, взятых из прикладных задач:
- «Телефонная книжка» — хранилище записей (имя человека, его телефон)
с операциями поиска и удаления записей по имени человека, и операцией
добавления новой записи.
- Domain Name Server — хранилище пар (доменное имя, IP адрес) с операциями модификации и поиска.
- Namespace — хранилище имен переменных с их значениями, возникающее в трансляторах языков программирования.
По сути, двоичное дерево поиска — это структура данных, способная
хранить таблицу пар (key, value) и поддерживающая три операции: FIND,
ADD, DEL.
Кроме того, интерфейс двоичного дерева включает ещё три
дополнительных операции обхода узлов дерева: INFIX_TRAVERSE,
PREFIX_TRAVERSE и POSTFIX_TRAVERSE. Первая из них позволяет обойти узлы
дерева в порядке неубывания ключей.
Поиск элемента (FIND)
Дано: дерево Т и ключ K.
Задача: проверить, есть ли узел с ключом K в дереве Т, и если да, то вернуть ссылку на этот узел.
Алгоритм:
- Если дерево пусто, сообщить, что узел не найден, и остановиться.
- Иначе сравнить K со значением ключа корневого узла X.
- Если K=X, выдать ссылку на этот узел и остановиться.
- Если K>X, рекурсивно искать ключ K в правом поддереве Т.
- Если K<X, рекурсивно искать ключ K в левом поддереве Т.
Добавление элемента (ADD)
Дано: дерево Т и пара (K,V).
Задача: добавить пару (K, V) в дерево Т.
Алгоритм:
- Если дерево пусто, заменить его на дерево с одним корневым узлом ((K,V), nil, nil) и остановиться.
- Иначе сравнить K с ключом корневого узла X.
- Если K>=X, рекурсивно добавить (K,V) в правое поддерево Т.
- Если K<X, рекурсивно добавить (K,V) в левое поддерево Т.
Удаление узла (DEL)
Дано: дерево Т с корнем n и ключом K.
Задача: удалить из дерева Т узел с ключом K (если такой есть).
Алгоритм:
- Если дерево T пусто, остановиться
- Иначе сравнить K с ключом X корневого узла n.
- Если K>X, рекурсивно удалить K из правого поддерева Т.
- Если K<X, рекурсивно удалить K из левого поддерева Т.
- Если K=X, то необходимо рассмотреть два случая.
- Если одного из детей нет, то значения полей второго ребёнка m ставим вместо соответствующих значений корневого узла, затирая его старые значения, и освобождаем память, занимаемую узлом m.
- Если оба ребёнка присутствуют, то
- найдём узел m, являющийся самым левым узлом правого поддерева;
- скопируем значения полей (key, value) узла m в соответствующие поля узла n.
- у родителя узла m заменим ссылку на узел m ссылкой на правого ребёнка узла m (который, в принципе, может быть равен nil).
- освободим память, занимаемую узлом m (на него теперь никто не указывает, а его данные были перенесены в узел n).
Обход дерева (TRAVERSE)
Есть три операции обхода узлов дерева, отличающиеся порядком обхода узлов.
Первая операция — INFIX_TRAVERSE — позволяет обойти все узлы дерева
в порядке возрастания ключей и применить к каждому узлу заданную
пользователем функцию call_back_function. Эта функция обычно работает
только c парой (K,V), хранящейся в узле. Операция INFIX_TRAVERSE
реализуется рекурсивным образом: сначала она запускает себя для левого
поддерева, потом запускает данную функцию для корня, потом запускает
себя для правого поддерева.
- INFIX_TRAVERSE ( call_back_function ) — обойти всё дерево, следуя порядку (левое поддерево, вершина, правое поддерево).
- PREFIX_TRAVERSE ( call_back_function ) — обойти всё дерево, следуя порядку (вершина, левое поддерево, правое поддерево).
- POSTFIX_TRAVERSE ( call_back_function ) — обойти всё дерево, следуя порядку (левое поддерево, правое поддерево, вершина).
INFIX_TRAVERSE:
Дано: дерево Т и функция f
Задача: применить f ко всем узлам дерева Т в порядке возрастания ключей
Алгоритм:
- Если дерево пусто, остановиться.
- Иначе
- Рекурсивно обойти правое поддерево Т.
- Применить функцию f к корневому узлу.
- Рекурсивно обойти левое поддерево Т.
В простейшем случае, функция f может выводить значение пары (K,V).
При использовании операции INFIX_TRAVERSE будут выведены все пары в
порядке возрастания ключей. Если же использовать PREFIX_TRAVERSE, то
пары будут выведены в порядке, соответствующим описанию дерева,
приведённого в начале статьи.
Сортировка с помощью двоичного дерева поиска
Бинарное дерево поиска можно использовать для сортировки. Для этого
берётся пустое дерево, к нему добавляют все элементы массива, а затем,
используя алгоритм «Обход дерева», записывают элементы дерева в массив
в возрастающем порядке.
Если элементы массива различны и расположены в случайном порядке, а длина массива N, алгоритм требует в среднем O(NlogN)
операций. Если они уже отсортированы в возрастающем или убывающем
порядке, то дерево становится несбалансированным (то есть у него
появляется много пустых веток). Тогда алгоритм требует O(N2) операций, и это худший возможный случай. Чтобы сбалансировать дерево, следует использовать алгоритм пирамиды или красно-чëрное дерево.
Реализация на JAVA
// Скомпилируйте и введите java TreeSort
class Tree {
public Tree big; // правое и левое поддеревья и ключ
public Tree small;
public int key;
public Tree(int k) { // конструктор с инициализацией ключа
key = k;
}
/* add (добавление нового поддерева (ключа))
сравнить ключ добавляемого поддерева (К) с ключём корневого узла (X).
Если K>=X, рекурсивно добавить новое дерево в правое поддерево.
Если K<X, рекурсивно добавить новое дерево в левое поддерево.
Если поддерева нет, то всавить на это место новое дерево
*/
public void add( Tree aTree) {
if ( aTree.key > key )
if ( big != null ) big.add( aTree );
else big = aTree;
else
if ( small != null ) small.add( aTree );
else small = aTree;
}
/* traverse (обход)
Рекурсивно обойти левое поддерево.
Применить функцию f (печать) к корневому узлу.
Рекурсивно обойти правое поддерево.
*/
public void traverse() {
if ( small != null) small.traverse();
System.out.println( " " + key );
if ( big != null ) big.traverse();
}
}
public class TreeSort {
public static void main(String args[]) {
Tree myTree;
myTree = new Tree( 7 ); // создать дерево (с ключом)
myTree.add( new Tree( 5 ) ); // присоединять поддеревья
myTree.add( new Tree( 9 ) );
myTree.traverse();
}
} |
|
Литература
|
